与えられた等式 $\frac{\pi h^2}{h-1} = \pi h^2 \frac{1+\sqrt{2h-1}}{(h-1)^2}$ が正しいかどうかを判定します。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\frac{\pi h^2}{h-1} = \pi h^2 \frac{1+\sqrt{2h-1}}{(h-1)^2}$ が正しいかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の右辺を変形し、左辺と同じ形になるかどうかを調べます。

$\pi h^2 \frac{1+\sqrt{2h-1}}{(h-1)^2} = \frac{\pi h^2}{(h-1)^2} (1+\sqrt{2h-1})$

ここで、与えられた等式が成り立つと仮定すると、

$\frac{\pi h^2}{h-1} = \frac{\pi h^2}{(h-1)^2} (1+\sqrt{2h-1})$

両辺を $\pi h^2$ で割ります（ただし、$h \neq 0$）。

$\frac{1}{h-1} = \frac{1}{(h-1)^2} (1+\sqrt{2h-1})$

両辺に $(h-1)^2$ をかけます。

$h-1 = 1 + \sqrt{2h-1}$

$\sqrt{2h-1} = h-2$

両辺を2乗します。

$(\sqrt{2h-1})^2 = (h-2)^2$

$2h-1 = h^2 - 4h + 4$

$h^2 - 6h + 5 = 0$

$(h-1)(h-5) = 0$

したがって、$h=1$ または $h=5$。

ただし、元の等式において $h-1$ が分母にあるため、$h=1$ は解として不適切です。$h=5$ の場合、$\sqrt{2h-1} = \sqrt{2(5)-1} = \sqrt{9} = 3$ であり、$h-2 = 5-2 = 3$ なので、$h=5$ は解として適切です。

$h=5$ の場合、左辺は $\frac{\pi (5^2)}{5-1} = \frac{25\pi}{4}$ です。

右辺は $\pi (5^2) \frac{1+\sqrt{2(5)-1}}{(5-1)^2} = 25\pi \frac{1+3}{16} = 25\pi \frac{4}{16} = \frac{25\pi}{4}$ です。

したがって、与えられた等式は、$h=5$ の場合に成り立ちます。しかし、一般には成り立ちません。

3. 最終的な答え

与えられた等式は、$h=5$ の場合にのみ成り立ちます。したがって、一般的には正しくありません。