与えられた4つの因数分解の問題を解く。 (1) $x^2 - 19x - 216$ と $x^4 - 19x^2 - 216$ の因数分解 (2) $(x+2y)(x-y) + 3y - 1$ の因数分解 (3) $x(x-1)(x-2)(x-3) - 24$ の因数分解 (4) $x^2 - y^2 - (y^2 + xy) + 3(yz + zx)$ の因数分解

1. 問題の内容

与えられた4つの因数分解の問題を解く。

(1) $x^2 - 19x - 216$ と $x^4 - 19x^2 - 216$ の因数分解

(2) $(x+2y)(x-y) + 3y - 1$ の因数分解

(3) $x(x-1)(x-2)(x-3) - 24$ の因数分解

(4) $x^2 - y^2 - (y^2 + xy) + 3(yz + zx)$ の因数分解

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 - 19x - 216$ について、積が-216、和が-19となる2つの数を見つける。これは8と-27である。

よって、$x^2 - 19x - 216 = (x+8)(x-27)$

次に、$x^4 - 19x^2 - 216$ を因数分解する。

$x^2 = X$ と置くと、$X^2 - 19X - 216 = (X+8)(X-27) = (x^2 + 8)(x^2 - 27)$

$x^2 - 27 = (x - \sqrt{27})(x + \sqrt{27}) = (x - 3\sqrt{3})(x + 3\sqrt{3})$

したがって、$x^4 - 19x^2 - 216 = (x^2 + 8)(x - 3\sqrt{3})(x + 3\sqrt{3})$

(2)

$(x+2y)(x-y) + 3y - 1$ を展開する。

$x^2 + 2xy - xy - 2y^2 + 3y - 1 = x^2 + xy - 2y^2 + 3y - 1$

$x^2 + xy - 2y^2 + 3y - 1 = x^2 + xy - 2y^2 + 3y - 1$

$= x^2 + xy - (2y^2 - 3y + 1) = x^2 + xy - (2y - 1)(y - 1)$

$= x^2 + xy - (2y - 1)(y - 1) = (x + (2y - 1)) (x - (y - 1))$

$= (x + 2y - 1)(x - y + 1)$

(3)

$x(x-1)(x-2)(x-3) - 24 = (x(x-3))(x-1)(x-2) - 24 = (x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) - 24$

$X = x^2 - 3x$ と置くと、$X(X+2) - 24 = X^2 + 2X - 24 = (X+6)(X-4) = (x^2 - 3x + 6)(x^2 - 3x - 4) = (x^2 - 3x + 6)(x-4)(x+1)$

$x^2 - 3x + 6$ の判別式は$(-3)^2 - 4(1)(6) = 9 - 24 = -15 < 0$ なので、実数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

したがって、$x(x-1)(x-2)(x-3) - 24 = (x+1)(x-4)(x^2 - 3x + 6)$

(4)

$x^2 - y^2 - (y^2 + xy) + 3(yz + zx) = x^2 - y^2 - y^2 - xy + 3yz + 3zx = x^2 - 2y^2 - xy + 3yz + 3zx = x^2 + 3zx - xy - 2y^2 + 3yz$

$= x(x + 3z) - y(x + 2y - 3z)$

$= x^2 + 3zx - xy - 2y^2 + 3yz = x^2 - xy - 2y^2 + 3zx + 3yz = (x - 2y)(x + y) + 3z(x + y) = (x + y)(x - 2y + 3z)$

3. 最終的な答え

(1) ア：8, イウ：27, エ：8, オ：0, カ：8, キ：$3\sqrt{3}$, ク：0, ケ：8

$x^2 - 19x - 216 = (x+8)(x-27)$

$x^4 - 19x^2 - 216 = (x^2 + 8)(x^2 - 27)$

(2) $(x+2y)(x-y) + 3y - 1 = (x + 2y - 1)(x - y + 1)$

(3) $x(x-1)(x-2)(x-3) - 24 = (x+1)(x-4)(x^2 - 3x + 6)$

(4) $x^2 - y^2 - (y^2 + xy) + 3(yz + zx) = (x+y)(x-2y+3z)$