$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ $(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi)$, $\cos \beta = \frac{5}{13}$ $(0 < \beta < \frac{\pi}{2})$ のとき、以下の値を求める。 (1) $\cos \alpha$ (2) $\sin \beta$ (3) $\sin(\alpha + \beta)$

1. 問題の内容

$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ $(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi)$, $\cos \beta = \frac{5}{13}$ $(0 < \beta < \frac{\pi}{2})$ のとき、以下の値を求める。

(1) $\cos \alpha$

(2) $\sin \beta$

(3) $\sin(\alpha + \beta)$

2. 解き方の手順

(1) $\cos \alpha$ を求める。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\cos \alpha < 0$ であるから、

$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$

(2) $\sin \beta$ を求める。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$

$\sin^2 \beta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

$\sin \beta = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}$

$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin \beta > 0$ であるから、

$\sin \beta = \frac{12}{13}$

(3) $\sin(\alpha + \beta)$ を求める。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{12}{13}$

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{20}{65} - \frac{36}{65}$

$\sin(\alpha + \beta) = -\frac{16}{65}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$

(2) $\sin \beta = \frac{12}{13}$

(3) $\sin(\alpha + \beta) = -\frac{16}{65}$