式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b-c)(ab-bc-ca)$ を展開する。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) = a(ab-bc-ca) + b(ab-bc-ca) - c(ab-bc-ca)$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 3abc$

次に、展開した式に $abc$ を加える。

$(a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 3abc) + abc = a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 2abc$

したがって、$a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 2abc$ が最終的な答えとなる。

3. 最終的な答え

$a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - ca^2 - b^2c - 2abc$