与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、同じ次数の項について整理します。ここでは、$a$について整理してみます。

$a^2b + a^2c + b^2a + c^2a + b^2c + c^2b + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + bc(b+c)$

ここで、$b^2 + c^2 + 2bc = (b+c)^2$ であることに注意すると、

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$(b+c)$でくくり出すことができるので、

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

さらに、括弧の中身を因数分解します。$a^2 + (b+c)a + bc = (a+b)(a+c)$ となります。

したがって、

$(b+c)(a+b)(a+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$