与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca)+abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc = a^2b - abc - a^2c + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + ac^2 + abc$

$= a^2b - abc - a^2c + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + ac^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 - a^2c - b^2c - 2abc$

次に、式を整理します。

$a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 - a^2c - b^2c - 2abc = a^2(b-c) + a(b^2 + c^2 - 2bc) + bc(b+c) - b^2c - b^2c$

$= a^2(b-c) + a(b-c)^2 -bc^2+b^2c +b^2c -b^2c$

$= a^2(b-c) + a(b-c)^2 - bc(a - b-c)$

$= a^2(b-c) + a(b-c)^2 - bc(b-c)$

$= (b-c) [a^2 + a(b-c) -bc]$

$= (b-c) [a^2 + ab - ac - bc]$

$= (b-c) [a(a+b) - c(a+b)]$

$= (b-c) (a+b) (a-c)$

$= (a+b) (b-c) (a-c)$

$= (a+b) (b-c) (a-c)$

$= -(a+b)(c-b)(a-c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b-c)(a-c)$