与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$ab(a+b) = a^2b + ab^2$

$bc(b+c) = b^2c + bc^2$

$ca(c+a) = c^2a + ca^2$

よって、与えられた式は

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

となります。

次に、$a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 3bc) + b^2c + bc^2$

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2 + bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a((b+c)^2 + bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + abc + bc(b+c)$

共通因数 $(b+c)$ でくくります。

$(b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

$(b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

括弧の中を因数分解します。

$(b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$(b+c)(a+b)(a+c)$

よって、因数分解された式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ となります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$