与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理してから因数分解を行います。

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc$

ここで、$a$ について整理します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc = (b+c)a^2 + (b^2+3bc+c^2)a + (b^2c+bc^2)$

$= (b+c)a^2 + (b^2+3bc+c^2)a + bc(b+c)$

さらに、$b+c = X$ と置換して式を簡略化することを試みますが、ここでは置換せずに因数分解を進めます。

$(b+c)a^2 + (b^2+3bc+c^2)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2+bc)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + ((b+c)^2+bc)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bca + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + (b+c)a + bc) + bca$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$= (a+b)(a+c)(b+c)$を展開すると、

$(a+b)(a+c)(b+c) = (a^2 + ac + ab + bc)(b+c)$

$= a^2b + a^2c + abc + ac^2 + ab^2 + abc + b^2c + bc^2$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

これは元々の式と同じではありません。

もう一度、式を見直します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

ここで、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開すると、

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a)$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

これに $abc$ を加えると、

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

となり、これは与えられた式と同じです。

したがって、$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$