与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を整理する。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

次に、この式を $a$ について整理する。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

ここで、共通因数 $b+c$ でくくる。

$(b+c)(a^2 + a(b+c) + bc) = (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

さらに、$a^2 + ab + ac + bc$ を因数分解する。

$a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

したがって、

$(b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$