9冊の異なる本を以下の条件で分ける方法の数を求めます。 (1) 3冊ずつ3人に分ける。 (2) 3冊ずつ3組に分ける。 (3) 2冊、3冊、4冊の3組に分ける。 (4) 2冊、2冊、5冊の3組に分ける。

1. 問題の内容

9冊の異なる本を以下の条件で分ける方法の数を求めます。

(1) 3冊ずつ3人に分ける。

(2) 3冊ずつ3組に分ける。

(3) 2冊、3冊、4冊の3組に分ける。

(4) 2冊、2冊、5冊の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 3冊ずつ3人に分ける場合、まず9冊から3冊を選び、次に残りの6冊から3冊を選び、最後に残りの3冊から3冊を選ぶ。そして、選んだ3つの組を3人に割り当てる。

よって、求める場合の数は

$_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} \times 3! = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} \times 3! = \frac{9!}{3!3!3!} \times 3!$

$= \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 \times 6 = 84 \times 20 \times 6 = 10080$

(2) 3冊ずつ3組に分ける場合、まず9冊から3冊を選び、次に残りの6冊から3冊を選び、最後に残りの3冊から3冊を選ぶ。ただし、組には区別がないため、3つの組の並び替えで割る必要がある。

よって、求める場合の数は

$\frac{_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3}}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3!} = \frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{1680}{6} = 280$

(3) 2冊、3冊、4冊の3組に分ける場合、まず9冊から2冊を選び、次に残りの7冊から3冊を選び、最後に残りの4冊から4冊を選ぶ。

よって、求める場合の数は

$_{9}C_{2} \times _{7}C_{3} \times _{4}C_{4} = \frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{3!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$

(4) 2冊、2冊、5冊の3組に分ける場合、まず9冊から2冊を選び、次に残りの7冊から2冊を選び、最後に残りの5冊から5冊を選ぶ。ただし、2冊の組には区別がないため、2つの組の並び替えで割る必要がある。

よって、求める場合の数は

$\frac{_{9}C_{2} \times _{7}C_{2} \times _{5}C_{5}}{2!} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times \frac{5!}{5!0!}}{2!} = \frac{9!}{2!2!5!2!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{2 \times 2 \times 2} = 9 \times 2 \times 7 \times 3 = 378$

3. 最終的な答え

(1) 10080通り

(2) 280通り

(3) 1260通り

(4) 378通り