三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=9$である。このとき、$\cos A$, $\sin A$, 三角形ABCの面積、外接円の半径、内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=9$である。このとき、$\cos A$, $\sin A$, 三角形ABCの面積、外接円の半径、内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$\cos A$を求める。余弦定理は、三角形ABCにおいて、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

である。ここで、$a=BC=5$, $b=CA=9$, $c=AB=7$とおくと、

$5^2 = 9^2 + 7^2 - 2 \cdot 9 \cdot 7 \cos A$

$25 = 81 + 49 - 126 \cos A$

$126 \cos A = 105$

$\cos A = \frac{105}{126} = \frac{5}{6}$

次に、$\sin A$を求める。$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$の関係を用いる。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

$A$は三角形の内角なので、$0 < A < \pi$であり、$\sin A > 0$である。したがって、

$\sin A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$

次に、三角形ABCの面積Sを求める。面積の公式$S = \frac{1}{2}bc \sin A$を用いる。

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{63\sqrt{11}}{12} = \frac{21\sqrt{11}}{4}$

次に、外接円の半径Rを求める。正弦定理$\frac{a}{\sin A} = 2R$を用いる。

$2R = \frac{5}{\frac{\sqrt{11}}{6}} = \frac{30}{\sqrt{11}}$

$R = \frac{15}{\sqrt{11}} = \frac{15\sqrt{11}}{11}$

最後に、内接円の半径rを求める。内接円の半径と面積の関係$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$を用いる。

$\frac{21\sqrt{11}}{4} = \frac{1}{2}r(5+9+7) = \frac{1}{2}r(21)$

$\frac{21\sqrt{11}}{4} = \frac{21}{2}r$

$r = \frac{\sqrt{11}}{2}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{5}{6}$

$\sin A = \frac{\sqrt{11}}{6}$

三角形ABCの面積 = $\frac{21\sqrt{11}}{4}$

外接円の半径 = $\frac{15\sqrt{11}}{11}$

内接円の半径 = $\frac{\sqrt{11}}{2}$