正八角形の3つの頂点を結んで三角形を作ります。 (1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。 (2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求めます。

1. 問題の内容

正八角形の3つの頂点を結んで三角形を作ります。

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と1辺だけを共有する三角形について

正八角形の1つの辺を選びます。辺の選び方は8通りです。選んだ辺の両端の頂点以外の頂点は、残りの6個の頂点のうち、隣り合う頂点を選んではいけません。つまり、選んだ辺の両隣の頂点を選んではいけません。この場合、選んだ辺と1辺だけを共有する三角形を作るには、選んだ辺の両端以外の頂点から、選んだ辺に隣接する頂点を除いた4つの頂点のうちの1つを選ぶ必要があります。

したがって、1辺だけを共有する三角形の数は $8 \times 4 = 32$ 個です。しかし、重複して数えているものはないので、これで正しいです。よって、答えは32ではありません。正八角形の頂点を順にA,B,C,D,E,F,G,Hとします。例えば辺ABを選んだ場合、A,B,C,Hは使用できません。D,E,F,Gから1つ選ぶことになるので、4通りとなります。従って、求める三角形の数は $8 \times 4 = 32$ となります。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形について

まず、正八角形の3個の頂点を選んで三角形を作る総数は、${}_8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$個です。

次に、正八角形と2辺を共有する三角形は8個です（例：ABC, BCDなど）。

正八角形と1辺だけを共有する三角形は(1)より32個です。

したがって、正八角形と辺を共有しない三角形の数は、56 - 8 - 32 = 16個です。

3. 最終的な答え

(1) 32個

(2) 16個