半径6cmの円の一部分と三角形を組み合わせた図形を、直線 $l$ を回転軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。 図形は、半径6cmの半円から中心角が90度の扇形を切り取った残りの部分と、底辺8cm、高さ6cmの直角三角形を組み合わせたものである。

## 問題2

1. **問題の内容**

半径6cmの円の一部分と三角形を組み合わせた図形を、直線 $l$ を回転軸として1回転させてできる立体の体積を求めよ。

図形は、半径6cmの半円から中心角が90度の扇形を切り取った残りの部分と、底辺8cm、高さ6cmの直角三角形を組み合わせたものである。

2. **解き方の手順**

まず、半円から扇形を切り取った残りの部分を回転させたときにできる立体と、三角形を回転させたときにできる立体を考える。

* **扇形を切り取った残りの部分の体積**

半円を回転させると球になる。その体積 $V_1$ は、

$V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi (216) = 288\pi$

中心角が90度の扇形を回転させると、半径6cmの球の $90/360 = 1/4$ の大きさの立体になる。この体積 $V_2$ は、

$V_2 = \frac{1}{4}V_1 = \frac{1}{4}(288\pi) = 72\pi$

したがって、扇形を切り取った残りの部分を回転させたときにできる立体の体積 $V_3$ は、

$V_3 = V_1 - V_2 = 288\pi - 72\pi = 216\pi$

* **三角形の体積**

直角三角形を回転させると円錐になる。円錐の底面の半径は8cm、高さは6cmなので、体積 $V_4$ は、

$V_4 = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (8)^2 (6) = \frac{1}{3}\pi (64)(6) = 128\pi$

* **全体の体積**

したがって、全体の体積 $V$ は、

$V = V_3 + V_4 = 216\pi + 128\pi = 344\pi$

3. **最終的な答え**

$344\pi \text{ cm}^3$