円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = 3x + m$ が共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = 3x + m$ が共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持たない条件は、円の中心と直線との距離が円の半径よりも大きいことです。

* 円 $x^2 + y^2 = 10$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{10}$ です。

* 直線 $y = 3x + m$ を $3x - y + m = 0$ と変形します。

* 点 $(0, 0)$ と直線 $3x - y + m = 0$ との距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|3(0) - (0) + m|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{10}}$

* 円と直線が共有点を持たない条件は、$d > \sqrt{10}$ であるから、

$\frac{|m|}{\sqrt{10}} > \sqrt{10}$

* 両辺に $\sqrt{10}$ を掛けると、$|m| > 10$

* 絶対値を外すと、$m > 10$ または $m < -10$

3. 最終的な答え

$m < -10$ または $m > 10$