xy平面上に一辺の長さが$a$の正三角形ABCがある。ベクトル$\vec{BC} = \vec{a}, \vec{CA} = \vec{b}, \vec{AB} = \vec{c}$ とおく。以下の量を$a$を用いて表せ。 (1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (2) $\vec{a} + \vec{b}$ (3) $\vec{b} - \vec{c}$ (4) $\vec{a} \times \vec{b}$ (5) $\vec{a} \times \vec{c}$ (6) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$ (7) $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}$ (8) $(\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a}$ (9) $(\vec{b} - \vec{c}) \times \vec{a}$ (10) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}$ (11) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a}$

1. 問題の内容

xy平面上に一辺の長さが$a$の正三角形ABCがある。ベクトル$\vec{BC} = \vec{a}, \vec{CA} = \vec{b}, \vec{AB} = \vec{c}$ とおく。以下の量を$a$を用いて表せ。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(2) $\vec{a} + \vec{b}$

(3) $\vec{b} - \vec{c}$

(4) $\vec{a} \times \vec{b}$

(5) $\vec{a} \times \vec{c}$

(6) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$

(7) $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}$

(8) $(\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a}$

(9) $(\vec{b} - \vec{c}) \times \vec{a}$

(10) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}$

(11) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a}$

2. 解き方の手順

まず、正三角形であることから、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = a$である。

また、$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$である。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}$

(2) $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$, よって $|\vec{a} + \vec{b}| = |-\vec{c}| = |\vec{c}| = a$

$\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$

(3) $\vec{b} - \vec{c} = \vec{b} - (-\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + 2\vec{b}$

$|\vec{b} - \vec{c}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = a^2 + 4(-\frac{a^2}{2}) + 4a^2 = 3a^2$

$|\vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{3}a$

(4) $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin(120^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$

(5) $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{a} \times (-\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{a}) - \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{a} \times \vec{b}$, $|\vec{a} \times \vec{c}| = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$

(6) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (-\vec{c}) \cdot \vec{c} = -|\vec{c}|^2 = -a^2$

(7) $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = (-\vec{c}) \times \vec{c} = \vec{0}$

(8) $(\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{a^2}{2} - |\vec{c}||\vec{a}|\cos(60^\circ) = -\frac{a^2}{2} - a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = -a^2$

(9) $(\vec{b} - \vec{c}) \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a} - \vec{c} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{a} \times \vec{b}) -(-\vec{a} \times \vec{b}) = -(\vec{a}\times\vec{b})-(\vec{a} \times - \vec{a}-\vec{b})= -(\vec{a}\times\vec{b})-(\vec{a}\times \vec{-a})-(\vec{a}\times \vec{-b}) = 2\vec{b} \times \vec{a}= -2\vec{a}\times\vec{b}$, $|(\vec{b} - \vec{c}) \times \vec{a}|=2 |\vec{a}\times\vec{b}|=2\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\sqrt{3}a^2$

(10) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

(11) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{a^2}{2}$

(2) $a$

(3) $\sqrt{3}a$

(4) $\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$

(5) $\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$

(6) $-a^2$

(7) $\vec{0}$

(8) $-a^2$

(9) $\sqrt{3}a^2$

(10) $0$

(11) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a}$