2点 $(2, 5)$, $(-1, -1)$ を通り、$y$軸との交点が $(0, 5)$ である2次関数を求める。

1. 問題の内容

2点 $(2, 5)$, $(-1, -1)$ を通り、$y$軸との交点が $(0, 5)$ である2次関数を求める。

2. 解き方の手順

求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とする。

$y$軸との交点が $(0, 5)$ であることから、$x = 0$ のとき $y = 5$ となる。

よって、$c = 5$ である。

したがって、2次関数は $y = ax^2 + bx + 5$ と表せる。

この関数が $(2, 5)$ を通ることから、

$5 = a(2)^2 + b(2) + 5$

$5 = 4a + 2b + 5$

$0 = 4a + 2b$

$2a + b = 0$

$b = -2a$

また、この関数が $(-1, -1)$ を通ることから、

$-1 = a(-1)^2 + b(-1) + 5$

$-1 = a - b + 5$

$-6 = a - b$

$a - b = -6$

$b = -2a$ を $a - b = -6$ に代入すると、

$a - (-2a) = -6$

$a + 2a = -6$

$3a = -6$

$a = -2$

$b = -2a$ より、$b = -2(-2) = 4$

したがって、求める2次関数は $y = -2x^2 + 4x + 5$ である。

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 4x + 5$