50mのプールで200m泳ぐのに、兄は2分30秒、弟は3分45秒かかる。兄と弟が同時にスタートし、400m泳ぐとき、兄が初めて弟と並ぶのは、スタートしてから何分何秒後か求める。

1. 問題の内容

50mのプールで200m泳ぐのに、兄は2分30秒、弟は3分45秒かかる。兄と弟が同時にスタートし、400m泳ぐとき、兄が初めて弟と並ぶのは、スタートしてから何分何秒後か求める。

2. 解き方の手順

まず、兄と弟が50m泳ぐのにかかる時間を計算する。

兄：2分30秒 = 150秒で200mなので、50m泳ぐのにかかる時間は $150/4 = 37.5$秒

弟：3分45秒 = 225秒で200mなので、50m泳ぐのにかかる時間は $225/4 = 56.25$秒

次に、400m泳ぐのにかかる時間を計算する。

兄：$37.5 \times 8 = 300$秒

弟：$56.25 \times 8 = 450$秒

兄が弟を追い抜く時間を求める。

兄と弟の速さの差を考える。単位時間あたりの距離の差を考えると、ここでは1秒あたりという考え方ではなく、400m泳ぐ時間を基準に考える。

兄は400m泳ぐのに300秒かかるのに対し、弟は450秒かかる。つまり、兄は弟より150秒早く400m泳ぎ終える。

兄が初めて弟と並ぶのは、兄が弟を1周追い抜いた時である。

兄が1周400mを終えた時点では、弟はまだ400mを泳ぎ終えていない。

兄が400mを泳ぐ間に弟が泳いだ距離を求める。

300秒で兄は400m泳ぎ、弟は450秒で400m泳ぐ。

したがって、300秒で弟は $400 \times (300/450) = 400 \times (2/3) = 800/3$ m泳ぐ。

兄が弟を初めて追い抜くのは、弟がどれだけ泳いだ時点で、兄との差が400mになるかを考える。

兄と弟の時間の差が150秒であることを利用する。

兄が$t$秒で$x$m泳ぎ、弟が$t$秒で$x - 400$m泳いだとすると、

$x / (400/300) = t$

$(x-400) / (400/450) = t$

なので、

$x / (4/3) = (x-400) / (4/4.5)$

$x \times (3/4) = (x-400) \times (4.5/4)$

$x \times (3/4) = (x-400) \times (9/8)$

$x \times 6 = (x-400) \times 9$

$6x = 9x - 3600$

$3x = 3600$

$x = 1200$

したがって、兄が1200m泳いだ時に初めて弟と並ぶ。

兄は400mを300秒で泳ぐので、1200m泳ぐには $300 \times 3 = 900$秒かかる。

900秒は、15分である。

3. 最終的な答え

15 分 0 秒