複素数 $w$ が $w = iz + 2$ で与えられ、$z$ が原点を中心とする半径1の円上を動くとき、$w$ がどのような図形を描くか求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $w$ が $w = iz + 2$ で与えられ、$z$ が原点を中心とする半径1の円上を動くとき、$w$ がどのような図形を描くか求めよ。

2. 解き方の手順

$z$ は原点を中心とする半径1の円上を動くので、$z$ は絶対値が1の複素数である。したがって、$z$ は $z = e^{i\theta}$ (ただし、$\theta$ は実数) と表すことができる。または、$|z| = 1$と表せる。

$w = iz + 2$ より、$z = \frac{w-2}{i}$ となる。

ここで、$z$ が原点を中心とする半径1の円上を動くという条件は、$|z| = 1$ で表される。したがって、

$$\left|\frac{w-2}{i}\right| = 1$$

$$|w - 2| = |i|$$

$|i|=1$なので、

$$|w - 2| = 1$$

これは、複素数平面上で、$w$ が 2 を中心とする半径 1 の円を描くことを意味する。

3. 最終的な答え

$w$ は点 2 を中心とする半径 1 の円を描く。