問題は、関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ のグラフと2つの直線 $l$（式は $y = \frac{1}{2}x + 2$）と $m$（式は $y = -5$）がある図に関する問題です。グラフと直線 $l$ は点A, Bで交わり、点Aの座標は (4, 4) で、点Bの $x$ 座標は -8です。グラフと直線 $m$ との交点をCとし、直線 $l$ 上に $y$ 座標が2である点Dを取ります。この時、 (1) $a$ の値を求める。 (2) 2点A, Dを通る直線の式を求める。 (3) 四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = \frac{1}{4}x^2$ のグラフと2つの直線 $l$（式は $y = \frac{1}{2}x + 2$）と $m$（式は $y = -5$）がある図に関する問題です。グラフと直線 $l$ は点A, Bで交わり、点Aの座標は (4, 4) で、点Bの $x$ 座標は -8です。グラフと直線 $m$ との交点をCとし、直線 $l$ 上に $y$ 座標が2である点Dを取ります。この時、

(1) $a$ の値を求める。

(2) 2点A, Dを通る直線の式を求める。

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{a}x^2$ のグラフが点A(4, 4)を通るので、

$4 = \frac{1}{a} (4^2)$

$4 = \frac{16}{a}$

$4a = 16$

$a = 4$

(2) 点Dは直線 $y = \frac{1}{2}x + 2$ 上にあり、$y$ 座標が2なので、

$2 = \frac{1}{2}x + 2$

$\frac{1}{2}x = 0$

$x = 0$

したがって、D(0, 2)

A(4, 4)とD(0, 2)を通る直線の式を $y = mx + b$ とおくと、

$4 = 4m + b$

$2 = 0m + b$

したがって、$b = 2$

$4 = 4m + 2$

$2 = 4m$

$m = \frac{1}{2}$

よって、2点A, Dを通る直線の式は $y = \frac{1}{2}x + 2$

(3) 点Bの座標は、Bのx座標は -8で、$y = \frac{1}{4}x^2$上にあるので、$y = \frac{1}{4}(-8)^2 = \frac{64}{4} = 16$ よってB(-8, 16)。

点Cは、$y = \frac{1}{4}x^2$と$y = -5$の交点なので、

$-5 = \frac{1}{4}x^2$

$x^2 = -20$

これは実数解を持たないので、図から$y=-5$の直線は、放物線$y = \frac{1}{4}x^2$と交わらない。

問題文の指示通り、$y=\frac{1}{4}x^2$と$y=-5$との交点をCとすると、$x= \pm \sqrt{-20}$となり、Cは複素数座標となるので四角形ABCDは構成できない。

図中のCの座標は、直線$m$（$y=-5$）ではなく、直線$l$（$y=\frac{1}{2}x+2$）と放物線$y = \frac{1}{4}x^2$の交点$B$と直線$m$（$y=-5$）の間違いであると推測されるので、Cの座標を直線$m$と放物線との交点($x=- \sqrt{-20}$, $y=-5$)とするのではなく、

線分$AD$と$y=-5$の交点とみなす。

線分ADの式は$y = \frac{1}{2}x+2$なので、$y=-5$を代入して、

$-5 = \frac{1}{2}x+2$

$-7 = \frac{1}{2}x$

$x = -14$

よって、$C(-14, -5)$

四角形ABCDは台形である。

上底はADと平行でBを通る直線と直線$m$の距離であるので、平行線の距離。

ADの式は、$y = \frac{1}{2}x+2$

平行線は、$y = \frac{1}{2}x+b$で、B(-8, 16)を通るので、

$16 = \frac{1}{2}(-8)+b$

$16 = -4 +b$

$b = 20$

平行線は、$y = \frac{1}{2}x+20$

$y = -5$との交点は、$(-50, -5)$

$y = \frac{1}{2}x+2$のx切片は、$x = -4$、点Dからx軸に垂線を下ろすと(-4, 0)

ADの長さは、$\sqrt{(4-0)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

BCの長さは、$\sqrt{(-8-(-14))^2 + (16-(-5))^2} = \sqrt{(6)^2 + (21)^2} = \sqrt{36+441} = \sqrt{477}$

高さは$4-(-5)=9$

四角形ABCDの面積は、

$\frac{1}{2}(AD+BC)h = \frac{1}{2} (2\sqrt{5} + \sqrt{477}) (9)$

ただし、これは$C$座標を$AD$と$y=-5$の交点とした場合なので、注意。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(2) $y = \frac{1}{2}x + 2$

(3) 面積: $\frac{9}{2}(2\sqrt{5} + \sqrt{477})$ (ただし、Cは線分ADと直線y=-5の交点とした場合)