$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるということは、$3.75^n$ が100以上1000未満であることを意味する。

したがって、

$100 \le 3.75^n < 1000$

である。ここで、$3.75 = \frac{15}{4} = \frac{3 \times 5}{2^2}$ であるから、常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \le \log_{10} (3.75^n) < \log_{10} 1000$

$2 \le n \log_{10} 3.75 < 3$

$2 \le n (\log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 2\log_{10} 2) < 3$

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、

$2 \le n (0.4771 + 0.6990 - 2 \times 0.3010) < 3$

$2 \le n (1.1761 - 0.6020) < 3$

$2 \le n (0.5741) < 3$

$\frac{2}{0.5741} \le n < \frac{3}{0.5741}$

$3.483 \le n < 5.225$

$n$ は整数であるから、

$4 \le n \le 5$

よって、条件を満たす $n$ は $4$ と $5$ である。したがって、求める個数は $2$ である。

3. 最終的な答え

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