不等式 $9^n < 100000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

不等式 $9^n < 100000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数をとる。

$\log_{10}(9^n) < \log_{10}(100000)$

対数の性質より、$\log_{10}(9^n) = n\log_{10}9 = n\log_{10}(3^2) = 2n\log_{10}3$ である。

また、$\log_{10}(100000) = \log_{10}(10^5) = 5$ である。

したがって、不等式は

$2n\log_{10}3 < 5$

となる。与えられた値 $\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると、

$2n(0.4771) < 5$

$0.9542n < 5$

$n < \frac{5}{0.9542} \approx 5.2399$

したがって、不等式を満たす最大の整数 $n$ は 5 である。

3. 最終的な答え

5