不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{2})^n < 0.01$ を満たす最小の整数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数（底が10の対数）をとります。

$\log_{10} (\frac{1}{2})^n < \log_{10} 0.01$

対数の性質より、

$n \log_{10} (\frac{1}{2}) < \log_{10} (10^{-2})$

$n (\log_{10} 1 - \log_{10} 2) < -2$

$n (0 - \log_{10} 2) < -2$

$-n \log_{10} 2 < -2$

両辺に $-1$ をかけると、不等号の向きが変わります。

$n \log_{10} 2 > 2$

与えられた値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入します。

$n (0.3010) > 2$

$n > \frac{2}{0.3010}$

$n > \frac{2000}{301}$

$n > 6.6445...$

$n$ は整数なので、$n$ の最小値は7です。

3. 最終的な答え

7