与えられた条件を満たす等比数列の一般項 $a_n$ を求めます。ただし、公比は実数とします。 (1) 初項が -2, 第4項が -1/4 (2) 第3項が 9, 第5項が 81

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす等比数列の一般項 $a_n$ を求めます。ただし、公比は実数とします。

(1) 初項が -2, 第4項が -1/4

(2) 第3項が 9, 第5項が 81

2. 解き方の手順

(1)

等比数列の一般項は、$a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比です。

問題より、$a_1 = -2$ かつ $a_4 = -1/4$ です。

$a_4 = a_1 r^{4-1} = a_1 r^3$ に値を代入すると、

$-\frac{1}{4} = -2 \cdot r^3$

$r^3 = \frac{1}{8}$

したがって、$r = \frac{1}{2}$

よって、一般項は $a_n = -2 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ となります。

(2)

同様に、$a_n = a_1 r^{n-1}$ を用います。

問題より、$a_3 = 9$ かつ $a_5 = 81$ です。

$a_3 = a_1 r^2 = 9$

$a_5 = a_1 r^4 = 81$

$\frac{a_5}{a_3} = \frac{a_1 r^4}{a_1 r^2} = r^2$

$\frac{81}{9} = r^2$

$r^2 = 9$

したがって、$r = \pm 3$

$r = 3$ のとき、$a_1 \cdot 3^2 = 9$ より、$a_1 = 1$

$r = -3$ のとき、$a_1 \cdot (-3)^2 = 9$ より、$a_1 = 1$

$r=3$のとき、$a_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$

$r=-3$のとき、$a_n = 1 \cdot (-3)^{n-1} = (-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -2 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

(2) $a_n = 3^{n-1}$ または $a_n = (-3)^{n-1}$