複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。 (1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求めよ。 (2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ。 (3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z^2$の値をすべて求めよ。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求めよ。 (4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z|<1$が成り立つことを示せ。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。

(1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求めよ。

(2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z^2$の値をすべて求めよ。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求めよ。

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z|<1$が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cが異なる3点であるための条件は、$z \neq z^3$, $z \neq z^5$, $z^3 \neq z^5$が成り立つことである。

$z \neq z^3 \Leftrightarrow z(z^2-1) \neq 0 \Leftrightarrow z \neq 0, \pm 1$

$z \neq z^5 \Leftrightarrow z(z^4-1) \neq 0 \Leftrightarrow z \neq 0, \pm 1, \pm i$

$z^3 \neq z^5 \Leftrightarrow z^3(z^2-1) \neq 0 \Leftrightarrow z \neq 0, \pm 1$

したがって、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$

(2) A, B, Cが同一直線上にあるためには、$\frac{z^3 - z}{z^5 - z}$が実数である必要がある。ただし、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$。

$\frac{z^3 - z}{z^5 - z} = \frac{z(z^2-1)}{z(z^4-1)} = \frac{z^2-1}{z^4-1} = \frac{z^2-1}{(z^2-1)(z^2+1)} = \frac{1}{z^2+1}$

$\frac{1}{z^2+1}$が実数であるためには、$z^2+1$が実数である必要がある。$z = x+iy$とおくと、

$z^2+1 = (x+iy)^2 + 1 = x^2 - y^2 + 1 + 2ixy$

$2xy = 0 \Leftrightarrow x=0$または$y=0$

したがって、$z$は実数または純虚数。ただし、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$なので、$z$は実数で$z \neq 0, \pm 1$または純虚数で$z \neq \pm i$。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、

$\frac{z^3 - z}{z^5 - z} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$または$\frac{z^5 - z}{z^3 - z} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{z^2+1} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$z^2+1 = \frac{2}{-1 \pm i\sqrt{3}} = \frac{2(-1 \mp i\sqrt{3})}{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{2(-1 \mp i\sqrt{3})}{4} = \frac{-1 \mp i\sqrt{3}}{2}$

$z^2 = \frac{-1 \mp i\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{-3 \mp i\sqrt{3}}{2}$

$z^2 = \frac{-3 - i\sqrt{3}}{2}$のとき、$z = \pm \sqrt{\frac{-3 - i\sqrt{3}}{2}}$

$z^2 = \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}$のとき、$z = \pm \sqrt{\frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}}$

A, B, Cが反時計回りの位置にあるとき、$\frac{z^3-z}{z^5-z}$の偏角は$\frac{\pi}{3}$である。

$\frac{z^3-z}{z^5-z} = \frac{1}{z^2+1} = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

$z^2+1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$

$z^2 = \frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}$

$z = \sqrt{\frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}}$

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$\frac{z^5-z^3}{z-z^3}$が純虚数。

$\frac{z^5-z^3}{z-z^3} = \frac{z^3(z^2-1)}{z(1-z^2)} = -z^2$

$-z^2$が純虚数なので、$z^2$も純虚数。$z^2 = ai$ ($a$は実数)。

$z = x+iy$とすると、$z^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy = ai$

$x^2 - y^2 = 0$より、$x = \pm y$

$z = x \pm ix$より、$|z|^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$

$z^2 = 2ix^2 = ai$より、$a = 2x^2$

このとき、$|z|<1$が成り立つことを示す。

3. 最終的な答え

(1) $z \neq 0, \pm 1, \pm i$

(2) $z$は実数で$z \neq 0, \pm 1$または純虚数で$z \neq \pm i$

(3) $z^2 = \frac{-3 \mp i\sqrt{3}}{2}$, A, B, Cが反時計回りの位置にあるとき、$z = \sqrt{\frac{-3 + i\sqrt{3}}{2}}$

(4) $|z|<1$が成り立つことを示す（途中）