実数 $a, b, c$ に対して、$A = a+b+c$, $B = a^2+b^2+c^2$, $C = a^3+b^3+c^3$ とおく。このとき、$abc$ を $A, B, C$ を用いて表す。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ に対して、$A = a+b+c$, $B = a^2+b^2+c^2$, $C = a^3+b^3+c^3$ とおく。このとき、$abc$ を $A, B, C$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$A^2 = (a+b+c)^2$ を展開する。

$A^2 = (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

よって、

$A^2 = B + 2(ab + bc + ca)$

$2(ab + bc + ca) = A^2 - B$

$ab + bc + ca = \frac{A^2 - B}{2}$

次に、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$ という公式を用いる。

$C - 3abc = A(B - (ab+bc+ca))$

ここで、$ab+bc+ca = \frac{A^2 - B}{2}$ を代入する。

$C - 3abc = A(B - \frac{A^2 - B}{2}) = A(\frac{2B - A^2 + B}{2}) = A(\frac{3B - A^2}{2})$

したがって、

$3abc = C - A(\frac{3B - A^2}{2}) = C - \frac{3AB - A^3}{2} = \frac{2C - 3AB + A^3}{2}$

$abc = \frac{2C - 3AB + A^3}{6}$

3. 最終的な答え

$abc = \frac{A^3 - 3AB + 2C}{6}$