普遍集合 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と $B = \{2, 3, 4, 6\}$ が与えられています。以下の集合を求めます。 (a) $A \cap B^c$ (b) $A \cup B$ (c) $A \setminus B$ (d) $B \setminus A$ (e) $(A^c \cup B)^c$

1. 問題の内容

普遍集合 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と $B = \{2, 3, 4, 6\}$ が与えられています。以下の集合を求めます。

(a) $A \cap B^c$

(b) $A \cup B$

(c) $A \setminus B$

(d) $B \setminus A$

(e) $(A^c \cup B)^c$

2. 解き方の手順

(a) $A \cap B^c$ を求めるためには、$B^c$ を先に求めます。$B^c$ は、$X$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。つまり、$B^c = \{1, 5\}$ となります。次に、$A$ と $B^c$ の共通部分を求めます。$A \cap B^c = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 5\} = \{1\}$ です。

(b) $A \cup B$ を求めるためには、$A$ と $B$ の要素をすべて集めた集合を作ります。重複する要素は一度だけ含めます。$A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \{2, 3, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ です。

(c) $A \setminus B$ を求めるためには、$A$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合を作ります。$A \setminus B = \{1, 2, 3\} \setminus \{2, 3, 4, 6\} = \{1\}$ です。

(d) $B \setminus A$ を求めるためには、$B$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合を作ります。$B \setminus A = \{2, 3, 4, 6\} \setminus \{1, 2, 3\} = \{4, 6\}$ です。

(e) $(A^c \cup B)^c$ を求めるためには、まず $A^c$ を求めます。$A^c$ は、$X$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。つまり、$A^c = \{4, 5, 6\}$ となります。次に、$A^c \cup B$ を求めます。$A^c \cup B = \{4, 5, 6\} \cup \{2, 3, 4, 6\} = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ です。最後に、$(A^c \cup B)^c$ を求めます。これは、$X$ の中で $A^c \cup B$ に含まれない要素の集合です。つまり、$(A^c \cup B)^c = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{2, 3, 4, 5, 6\} = \{1\}$ です。

3. 最終的な答え

(a) $A \cap B^c = \{1\}$

(b) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$

(c) $A \setminus B = \{1\}$

(d) $B \setminus A = \{4, 6\}$

(e) $(A^c \cup B)^c = \{1\}$