集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ について、以下の問いに答える。 (a) $A$ のべき集合 $P(A)$ の濃度を求める。 (b) $\{B \in P(A) \mid |B| \text{ が奇数 }\}$ を外延的記法で記述する。 (c) 以下の命題の真偽を判定する。 (i) $\{1\} \in A$ (ii) $\{1\} \subset A$ (iii) $\{1, 4\} \in P(A)$ (iv) $\{1, 4\} \subset P(A)$

1. 問題の内容

集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ について、以下の問いに答える。

(a) $A$ のべき集合 $P(A)$ の濃度を求める。

(b) $\{B \in P(A) \mid |B| \text{ が奇数 }\}$ を外延的記法で記述する。

(c) 以下の命題の真偽を判定する。

(i) $\{1\} \in A$

(ii) $\{1\} \subset A$

(iii) $\{1, 4\} \in P(A)$

(iv) $\{1, 4\} \subset P(A)$

2. 解き方の手順

(a) $A$ の要素数は $|A| = 4$ である。したがって、$P(A)$ の濃度は $2^{|A|} = 2^4 = 16$ である。

(b) $P(A)$ は $A$ の部分集合全体からなる集合である。求める集合は、$P(A)$ の要素のうち、要素数が奇数である部分集合全体である。

$|B| = 1$ のとき: $\{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\} \}$

$|B| = 3$ のとき: $\{ \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\} \}$

したがって、求める集合は

$\{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\} \}$

(c)

(i) $\{1\} \in A$: これは偽である。なぜなら、$A$ の要素は $1, 2, 3, 4$ であり、集合 $\{1\}$ ではないから。

(ii) $\{1\} \subset A$: これは真である。なぜなら、$\{1\}$ のすべての要素（この場合は $1$ のみ）が $A$ に含まれているから。

(iii) $\{1, 4\} \in P(A)$: これは真である。なぜなら、$\{1, 4\}$ は $A$ の部分集合であり、$P(A)$ は $A$ の部分集合全体からなる集合だから。

(iv) $\{1, 4\} \subset P(A)$: これは偽である。$\{1, 4\}$ の要素は $1$ と $4$ であり、$1 \in P(A)$ が成り立つためには $1$ が $A$ の部分集合である必要があるが、$1$ は $A$ の要素である。

3. 最終的な答え

(a) $16$

(b) $\{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\} \}$

(c)

(i) 偽

(ii) 真

(iii) 真

(iv) 偽