複素数 $a$ について、$a - \overline{a}$ が純虚数であることを証明する。

1. 問題の内容

複素数 $a$ について、$a - \overline{a}$ が純虚数であることを証明する。

2. 解き方の手順

複素数 $a$ を $a = x + yi$（$x, y$ は実数）と表す。このとき、$\overline{a}$ は $x - yi$ で表される。

したがって、

$a - \overline{a} = (x + yi) - (x - yi) = x + yi - x + yi = 2yi$

$2y$ は実数であるから、$2yi$ は純虚数である。

3. 最終的な答え

したがって、$a - \overline{a}$ は純虚数である。