複素数 $\alpha$ について、$\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4$ が純虚数であることを証明する。ただし、$\alpha^4$ は実数ではないとする。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ について、$\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4$ が純虚数であることを証明する。ただし、$\alpha^4$ は実数ではないとする。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ が純虚数であることは、$\overline{z} = -z$ が成り立つことと同値です。

したがって、$\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4$ が純虚数であることを示すには、$\overline{\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4} = -(\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4)$ を示す必要があります。

まず、$\overline{\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4}$ を計算します。

複素数の性質として、$\overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2}$ および $\overline{z^n} = (\overline{z})^n$ が成り立ちます。

これらを用いると、

$$\overline{\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4} = \overline{\alpha^4} - \overline{(\overline{\alpha})^4} = (\overline{\alpha})^4 - (\overline{\overline{\alpha}})^4 = (\overline{\alpha})^4 - \alpha^4 = -(\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4)$$

したがって、$\overline{\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4} = -(\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4)$ が成り立ちます。

よって、$\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4$ は純虚数です。

3. 最終的な答え

$\alpha^4 - (\overline{\alpha})^4$ は純虚数である。