$a > 0$, $b > 0$ のとき、$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ を証明する。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{a}$ および $\sqrt{b}$ の定義を確認します。

$a > 0$ なので、$\sqrt{a}$ は正の数であり、$(\sqrt{a})^2 = a$ を満たします。同様に、$b > 0$ なので、$\sqrt{b}$ は正の数であり、$(\sqrt{b})^2 = b$ を満たします。

したがって、$\sqrt{a} \sqrt{b}$ は正の数です。

次に、$(\sqrt{a} \sqrt{b})^2$ を計算します。

$(\sqrt{a} \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 (\sqrt{b})^2 = a b$

また、$a > 0$ かつ $b > 0$ なので、$ab > 0$ です。したがって、$\sqrt{ab}$ は正の数であり、$(\sqrt{ab})^2 = ab$ を満たします。

$(\sqrt{a} \sqrt{b})^2 = ab = (\sqrt{ab})^2$ であり、$\sqrt{a} \sqrt{b}$ と $\sqrt{ab}$ はともに正の数なので、

$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$