与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) + abc$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + 3abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

次に、この式を整理し、因数分解しやすい形にします。

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

ここで、$a$ についての2次式と見て、因数分解を試みます。

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(bc+c^2+b^2+ab)+abc$

$=abc+ac^2+ab^2+a^2b+b^2c+bc^2+b^3+ab^2+abc$

$=a^2b+a(2bc+b^2+c^2)+b^2c+bc^2+b^3$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c)$

式を整理し直します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 3bc + c^2) + bc(b+c) = (a+b)(a+c)(b+c)+abc = (a+b)(bc + c^2 + b^2 + ab) + abc$

$= abc + ac^2 + ab^2 + a^2b + b^2c + bc^2 + b^3 + ab^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

正しく式を展開した上で、因数定理を利用します。$a = -b$のとき、

$(-b+b)(b+c)(c-b) + (-b)bc = 0 - b^2c$ となり、$a = -b$では因数に持たないことがわかる。

$a$について降べきの順に整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2+3bc+c^2)+bc(b+c)$

$a=-(b+c)$のとき、

$(b+c)( (b+c)^2-(b^2+3bc+c^2) )+bc(b+c)$

$= (b+c)( (b+c)^2-(b^2+3bc+c^2)+bc)$

$= (b+c)( (b+c)^2-b^2-2bc-c^2 )= 0$

したがって、$a + b + c$を因数に持つことがわかる。

$a^2(b+c) + a(b^2+3bc+c^2)+bc(b+c) = (a+b+c)(a(b+c)+bc)$

$=(a+b+c)(ab+ac+bc)$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$