次の5つの式を展開する問題です。 (1) $(x-y+z)^2$ (2) $(2a+3b-5c)^2$ (3) $(a^2+3a-2)(a^2+3a+3)$ (4) $(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)$ (5) $(x+y+z)(x-y-z)$

1. 問題の内容

次の5つの式を展開する問題です。

(1) $(x-y+z)^2$

(2) $(2a+3b-5c)^2$

(3) $(a^2+3a-2)(a^2+3a+3)$

(4) $(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)$

(5) $(x+y+z)(x-y-z)$

2. 解き方の手順

(1) $(x-y+z)^2$

$(x-y+z)^2 = (x-y+z)(x-y+z)$

$= x(x-y+z) -y(x-y+z) + z(x-y+z)$

$= x^2 -xy +xz -yx + y^2 -yz +zx -zy + z^2$

$= x^2 + y^2 + z^2 -2xy -2yz + 2xz$

(2) $(2a+3b-5c)^2$

$(2a+3b-5c)^2 = (2a+3b-5c)(2a+3b-5c)$

$= 2a(2a+3b-5c) + 3b(2a+3b-5c) -5c(2a+3b-5c)$

$= 4a^2 +6ab -10ac + 6ab + 9b^2 -15bc -10ac -15bc +25c^2$

$= 4a^2 + 9b^2 + 25c^2 + 12ab -20ac -30bc$

(3) $(a^2+3a-2)(a^2+3a+3)$

$a^2+3a = A$と置くと

$(A-2)(A+3) = A^2 + A -6$

$A$を元に戻すと

$(a^2+3a)^2 + (a^2+3a) -6$

$= a^4 + 6a^3 + 9a^2 + a^2 + 3a -6$

$= a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 3a -6$

(4) $(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)$

$x^2+2 = A$と置くと

$(A+3x)(A-3x) = A^2 -9x^2$

$A$を元に戻すと

$(x^2+2)^2 - 9x^2 = x^4 + 4x^2 + 4 - 9x^2$

$= x^4 - 5x^2 + 4$

(5) $(x+y+z)(x-y-z)$

$y+z = A$と置くと

$(x+A)(x-A) = x^2 - A^2$

$A$を元に戻すと

$x^2 - (y+z)^2 = x^2 - (y^2 + 2yz + z^2)$

$= x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + z^2 -2xy -2yz + 2xz$

(2) $4a^2 + 9b^2 + 25c^2 + 12ab -20ac -30bc$

(3) $a^4 + 6a^3 + 10a^2 + 3a -6$

(4) $x^4 - 5x^2 + 4$

(5) $x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$