与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}$ (2) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}$

(2) $y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) 対数微分法を用いると計算が楽になります。

まず、両辺の絶対値の自然対数をとります。

$\ln|y| = \ln\left|\frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2}\right| = 3\ln|x+1| - \ln|x-1| - 2\ln|x+2|$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2}$

$y' = y \left(\frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2}\right)$

$y' = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2} \left(\frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2}\right)$

$y' = \frac{(x+1)^3}{(x-1)(x+2)^2} \left(\frac{3(x-1)(x+2) - (x+1)(x+2)^2 - 2(x+1)(x-1)(x+2)}{(x+1)(x-1)(x+2)}\right)$

$y' = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2(x+2)^3} \left(3(x^2+x-2) - (x+1)(x^2+4x+4) - 2(x^2+x-2)(x-1)\right)$

$y' = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2(x+2)^3} \left(3x^2+3x-6 - (x^3+5x^2+8x+4) - 2(x^3-x^2-x+2)\right)$

$y' = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2(x+2)^3} \left(3x^2+3x-6 - x^3-5x^2-8x-4 - 2x^3+2x^2+2x-4\right)$

$y' = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2(x+2)^3} \left(-3x^3 - 12x - 14\right)$

$y' = -\frac{(x+1)^2(3x^3+12x+14)}{(x-1)^2(x+2)^3}$

(2) 商の微分法を使うと計算が楽になります。

$y = \frac{\sqrt{x+2}}{x+1}$

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}}(x+1) - \sqrt{x+2}}{(x+1)^2} = \frac{(x+1) - 2(x+2)}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2}$

$y' = \frac{x+1-2x-4}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2} = \frac{-x-3}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2}$

$y' = -\frac{x+3}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{(x+1)^2(3x^3+12x+14)}{(x-1)^2(x+2)^3}$

(2) $y' = -\frac{x+3}{2\sqrt{x+2}(x+1)^2}$