関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $I$ で連続であるとき、以下のことを示す問題です。 (i) $|f(x)|$ は区間 $I$ で連続である。 (ii) $h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ とおくと、$h(x)$ は区間 $I$ で連続である。 (iii) $k(x) = \min\{f(x), g(x)\}$ とおくと、$k(x)$ は区間 $I$ で連続である。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $I$ で連続であるとき、以下のことを示す問題です。

(i) $|f(x)|$ は区間 $I$ で連続である。

(ii) $h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ とおくと、$h(x)$ は区間 $I$ で連続である。

(iii) $k(x) = \min\{f(x), g(x)\}$ とおくと、$k(x)$ は区間 $I$ で連続である。

2. 解き方の手順

(i) $|f(x)|$ の連続性

$f(x)$ が区間 $I$ で連続であると仮定します。

絶対値関数の性質 $|a| - |b| \le |a - b|$ を利用します。

任意の $x, x_0 \in I$ に対して、

$||f(x)| - |f(x_0)| | \le |f(x) - f(x_0)|$

$f(x)$ が $x_0$ で連続なので、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して、$|x - x_0| < \delta$ ならば $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ が成り立ちます。

したがって、$|x - x_0| < \delta$ ならば $||f(x)| - |f(x_0)|| \le |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ となり、$|f(x)|$ は $x_0$ で連続です。

$x_0$ は区間 $I$ の任意の点だったので、$|f(x)|$ は区間 $I$ で連続です。

(ii) $h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ の連続性

$h(x)$ は次のように書き換えることができます。

$h(x) = \frac{f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|}{2}$

$f(x)$ と $g(x)$ は連続であると仮定します。

(i) より、$|f(x) - g(x)|$ は連続です。なぜならば、$f(x) - g(x)$ は連続であり、その絶対値関数も連続だからです。

連続関数の和と差、および定数倍は連続なので、$h(x)$ は連続です。

(iii) $k(x) = \min\{f(x), g(x)\}$ の連続性

$k(x)$ は次のように書き換えることができます。

$k(x) = \frac{f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)|}{2}$

$f(x)$ と $g(x)$ は連続であると仮定します。

(i) より、$|f(x) - g(x)|$ は連続です。なぜならば、$f(x) - g(x)$ は連続であり、その絶対値関数も連続だからです。

連続関数の和と差、および定数倍は連続なので、$k(x)$ は連続です。

3. 最終的な答え

(i) $|f(x)|$ は区間 $I$ で連続である。

(ii) $h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ は区間 $I$ で連続である。

(iii) $k(x) = \min\{f(x), g(x)\}$ は区間 $I$ で連続である。