## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

以下に、画像に記載された数学の問題の解答を示します。

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1. 問題の内容

以下の問題を解く。

1. $f(x, y) = \frac{x-y}{x+y}$ の偏導関数 $f_x$ と $f_y$ を求める。

2. $z = x^2 + y^3$, $x = 3t^2 + 2t + 1$, $y = -2t - 3$ のとき、$dz/dt$ を求める。

3. $f(x, y) = \log \sqrt{x^2 + y^2}$ について、$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ を求める。

4. $f(x, y) = \cos x \sin y$ の全微分 $df$ を求める。

5. 銅線の直径 $D$、長さ $L$、抵抗 $R$ とすると、銅線の比抵抗 $\rho = \frac{\pi D^2 R}{4L}$ となる。

(1) $D, L, R$ が変数のとき、$\rho$ の全微分 $d\rho$ を求める。

(2) $D, L, R$ の変化率 $dD/D, dL/L, dR/R$ が全て 1% のとき、$\rho$ の変化率 $d\rho/\rho$ を求める。

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2. 解き方の手順

1. **偏導関数 $f_x$ と $f_y$ の計算:**

* $f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x-y}{x+y} \right) = \frac{(x+y)(1) - (x-y)(1)}{(x+y)^2} = \frac{2y}{(x+y)^2}$

* $f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{x-y}{x+y} \right) = \frac{(x+y)(-1) - (x-y)(1)}{(x+y)^2} = \frac{-2x}{(x+y)^2}$

2. **$dz/dt$ の計算:**

連鎖律より、$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

* $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x = 2(3t^2 + 2t + 1) = 6t^2 + 4t + 2$

* $\frac{\partial z}{\partial y} = 3y^2 = 3(-2t - 3)^2 = 3(4t^2 + 12t + 9) = 12t^2 + 36t + 27$

* $\frac{dx}{dt} = 6t + 2$

* $\frac{dy}{dt} = -2$

よって、

$\frac{dz}{dt} = (6t^2 + 4t + 2)(6t + 2) + (12t^2 + 36t + 27)(-2)$

$= (36t^3 + 12t^2 + 24t^2 + 8t + 12t + 4) + (-24t^2 - 72t - 54)$

$= 36t^3 + 12t^2 + 8t + 4 -54$

$= 36t^3 + 12t^2 - 52$

3. **$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ の計算:**

$f(x, y) = \log \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$

* $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2}$

* $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2y}{x^2 + y^2} = \frac{y}{x^2 + y^2}$

* $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{(x^2 + y^2)(1) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

* $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{(x^2 + y^2)(1) - y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

したがって、

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0$

4. **全微分 $df$ の計算:**

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

* $\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin x \sin y$

* $\frac{\partial f}{\partial y} = \cos x \cos y$

よって、$df = -\sin x \sin y \, dx + \cos x \cos y \, dy$

5. **比抵抗 $\rho$ の全微分 $d\rho$ と変化率 $d\rho/\rho$ の計算:**

(1) 全微分 $d\rho$ の計算:

$\rho = \frac{\pi D^2 R}{4L}$

$d\rho = \frac{\partial \rho}{\partial D} dD + \frac{\partial \rho}{\partial L} dL + \frac{\partial \rho}{\partial R} dR$

* $\frac{\partial \rho}{\partial D} = \frac{\pi}{4L} (2DR) = \frac{\pi DR}{2L}$

* $\frac{\partial \rho}{\partial L} = \frac{\pi D^2 R}{4} (-\frac{1}{L^2}) = -\frac{\pi D^2 R}{4L^2}$

* $\frac{\partial \rho}{\partial R} = \frac{\pi D^2}{4L}$

よって、$d\rho = \frac{\pi DR}{2L} dD - \frac{\pi D^2 R}{4L^2} dL + \frac{\pi D^2}{4L} dR$

(2) 変化率 $d\rho/\rho$ の計算:

$\frac{d\rho}{\rho} = \frac{\frac{\pi DR}{2L} dD - \frac{\pi D^2 R}{4L^2} dL + \frac{\pi D^2}{4L} dR}{\frac{\pi D^2 R}{4L}} = \frac{2}{D} dD - \frac{1}{L} dL + \frac{1}{R} dR$

$dD/D = 0.01$, $dL/L = 0.01$, $dR/R = 0.01$ を代入すると、

$\frac{d\rho}{\rho} = 2(0.01) - (0.01) + (0.01) = 0.02$

したがって、$\rho$ の変化率は 2%。

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3. 最終的な答え

1. $f_x = \frac{2y}{(x+y)^2}$, $f_y = \frac{-2x}{(x+y)^2}$

2. $\frac{dz}{dt} = 36t^3 + 12t^2 - 52$

3. $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$

4. $df = -\sin x \sin y \, dx + \cos x \cos y \, dy$

5. (1) $d\rho = \frac{\pi DR}{2L} dD - \frac{\pi D^2 R}{4L^2} dL + \frac{\pi D^2}{4L} dR$

(2) $\frac{d\rho}{\rho} = 0.02$ (2%)