$\lim_{x \to +\infty} \{\log (1+x) - \log x\}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +\infty} \{\log (1+x) - \log x\}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、対数の差を対数の商に変換します。

$\log(1+x) - \log x = \log \frac{1+x}{x}$

次に、$\frac{1+x}{x}$ を書き換えます。

$\frac{1+x}{x} = \frac{1}{x} + 1$

したがって、求める極限は次のようになります。

$\lim_{x \to +\infty} \log(\frac{1+x}{x}) = \lim_{x \to +\infty} \log(1 + \frac{1}{x})$

ここで、$\log$ 関数は連続関数であるため、極限を $\log$ の中に移すことができます。

$\lim_{x \to +\infty} \log(1 + \frac{1}{x}) = \log(\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x}))$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ であるので、

$\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x}) = 1 + 0 = 1$

したがって、

$\log(\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})) = \log(1)$

$\log(1) = 0$ であるので、最終的な答えは0になります。

3. 最終的な答え

0