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与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ を微分する。

解析学微分関数の微分べき乗の微分関数
2025/4/21

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x)=1xf(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} を微分する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を書き換える。
f(x)=1x=1x1/2=x−1/2f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}
次に、べき乗の微分公式 ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} を用いて微分する。
f′(x)=ddxx−1/2=−12x−1/2−1=−12x−3/2f'(x) = \frac{d}{dx} x^{-1/2} = -\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}
最後に、結果を元の形式に戻す。
f′(x)=−12x−3/2=−12⋅1x3/2=−12⋅1xx=−12xxf'(x) = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3/2}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x \sqrt{x}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}

3. 最終的な答え

f′(x)=−12xxf'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}

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