与えられた無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+1)}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+1)}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{k(k+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{2}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$ とおきます。

両辺に $k(k+1)$ をかけると、

$2 = A(k+1) + Bk$ となります。

$k=0$ のとき、$2 = A(0+1) + B(0) \Rightarrow A = 2$

$k=-1$ のとき、$2 = A(-1+1) + B(-1) \Rightarrow -B = 2 \Rightarrow B = -2$

したがって、$\frac{2}{k(k+1)} = \frac{2}{k} - \frac{2}{k+1}$ となります。

次に、部分和を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{2}{k} - \frac{2}{k+1}\right)$

$S_n = \left(\frac{2}{1} - \frac{2}{2}\right) + \left(\frac{2}{2} - \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{4}\right) + \dots + \left(\frac{2}{n} - \frac{2}{n+1}\right)$

$S_n = 2 - \frac{2}{n+1}$ となります。（望遠鏡和）

最後に、無限級数の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+1)} = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{2}{n+1}\right)$

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0$ より、

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{k(k+1)} = 2 - 0 = 2$

3. 最終的な答え

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