2つの放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = x^2 + x + 1$、および2つの直線 $x = 1$ と $x = 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = x^2 + x + 1$、および2つの直線 $x = 1$ と $x = 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた区間 $1 \leq x \leq 2$ において、どちらの関数が大きいかを調べる。

$f(x) = x^2 + x + 1$ 、 $g(x) = \frac{1}{2}x^2$ とおくと、

$f(x) - g(x) = x^2 + x + 1 - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2 + x + 1$

この式は常に正なので、$f(x) \geq g(x)$ である。なぜなら、判別式 $D = 1^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1 - 2 = -1 < 0$ であり、$x^2$ の係数が正であるため。

したがって、面積 $S$ は、定積分で表すと

$$S = \int_{1}^{2} (x^2 + x + 1 - \frac{1}{2}x^2) dx = \int_{1}^{2} (\frac{1}{2}x^2 + x + 1) dx$$

となる。

次に、積分を実行する。

$$S = \int_{1}^{2} (\frac{1}{2}x^2 + x + 1) dx = [\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x]_{1}^{2}$$

$$= (\frac{1}{6}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 + 2) - (\frac{1}{6}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + 1)$$

$$= (\frac{8}{6} + 2 + 2) - (\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + 1)$$

$$= (\frac{4}{3} + 4) - (\frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6}) = \frac{16}{3} - \frac{10}{6}$$

$$= \frac{16}{3} - \frac{5}{3} = \frac{11}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{3}$