次の和を求めよ。ただし、(2)では $n \ge 2$ とする。 (1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{(k+1)(k+3)}$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。ただし、(2)では $n \ge 2$ とする。

(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{(k+1)(k+3)}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行う。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}{(k+2) - (k+1)} = \sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}$

よって、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1})$ となる。

これは階差の形になっているので、

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}) = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) = \sqrt{n+2} - \sqrt{2}$

(2) 部分分数分解を行う。

$\frac{2}{(k+1)(k+3)} = \frac{A}{k+1} + \frac{B}{k+3}$ とおくと、 $2 = A(k+3) + B(k+1)$ となる。

$k=-1$ のとき $2 = 2A$ より $A=1$

$k=-3$ のとき $2 = -2B$ より $B=-1$

よって、$\frac{2}{(k+1)(k+3)} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{(k+1)(k+3)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3})$

$=\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) + \left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3}\right)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}$

$= \frac{5}{6} - \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)}$

$= \frac{5(n+2)(n+3) - 6(2n+5)}{6(n+2)(n+3)}$

$= \frac{5(n^2 + 5n + 6) - (12n + 30)}{6(n+2)(n+3)}$

$= \frac{5n^2 + 25n + 30 - 12n - 30}{6(n+2)(n+3)}$

$= \frac{5n^2 + 13n}{6(n+2)(n+3)}$

$= \frac{n(5n+13)}{6(n+2)(n+3)}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{n+2} - \sqrt{2}$

(2) $\frac{n(5n+13)}{6(n+2)(n+3)}$