$0 \le x \le \pi$ の範囲で、方程式 $\cos(2x + \frac{2}{5}\pi) = \sin(\frac{2}{5}\pi)$ の解の個数と、解の最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ の範囲で、方程式 $\cos(2x + \frac{2}{5}\pi) = \sin(\frac{2}{5}\pi)$ の解の個数と、解の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(\frac{2}{5}\pi)$ を $\cos$ で表す。$\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ であるから、

$$\sin(\frac{2}{5}\pi) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{5}\pi) = \cos(\frac{5\pi - 4\pi}{10}) = \cos(\frac{\pi}{10})$$

したがって、与えられた方程式は、

$$\cos(2x + \frac{2}{5}\pi) = \cos(\frac{\pi}{10})$$

$\cos \theta = \cos \alpha$ の一般解は $\theta = 2n\pi \pm \alpha$ ($n$ は整数) なので、

$$2x + \frac{2}{5}\pi = 2n\pi \pm \frac{\pi}{10}$$

$$2x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{10} - \frac{2}{5}\pi = 2n\pi \pm \frac{\pi}{10} - \frac{4\pi}{10} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{10} - \frac{4\pi}{10} = 2n\pi + (\pm \frac{\pi}{10} - \frac{4\pi}{10})$$

$$x = n\pi + \frac{1}{2}(\pm \frac{\pi}{10} - \frac{4\pi}{10}) = n\pi + (\pm \frac{\pi}{20} - \frac{2\pi}{10}) = n\pi + (\pm \frac{\pi}{20} - \frac{4\pi}{20}) = n\pi + \frac{\pm \pi - 4\pi}{20}$$

(i) $x = n\pi + \frac{\pi - 4\pi}{20} = n\pi - \frac{3\pi}{20}$ の場合

$0 \le n\pi - \frac{3\pi}{20} \le \pi$

$\frac{3\pi}{20} \le n\pi \le \frac{23\pi}{20}$

$\frac{3}{20} \le n \le \frac{23}{20}$

$0.15 \le n \le 1.15$

$n=1$ より、$x = \pi - \frac{3\pi}{20} = \frac{17\pi}{20}$

(ii) $x = n\pi + \frac{-\pi - 4\pi}{20} = n\pi - \frac{5\pi}{20} = n\pi - \frac{\pi}{4}$ の場合

$0 \le n\pi - \frac{\pi}{4} \le \pi$

$\frac{\pi}{4} \le n\pi \le \frac{5\pi}{4}$

$\frac{1}{4} \le n \le \frac{5}{4}$

$0.25 \le n \le 1.25$

$n=1$ より、$x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} = \frac{15\pi}{20}$

$n=0$ より、$x = - \frac{\pi}{4}$ となるが、$x \ge 0$ を満たさない。

したがって、解は $x = \frac{17\pi}{20}$ と $x = \frac{15\pi}{20}$ の2つ。解の最小値は $\frac{15\pi}{20} = \frac{3\pi}{4}$。

3. 最終的な答え

解の個数: 2個

解の最小値: $\frac{3\pi}{4}$