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関数 $f(\theta) = 2\sin^2\theta + 4\sin\theta + 3\cos2\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) について、以下の問いに答える。 (1) $x = \sin\theta$ とするとき、$f(\theta)$ を $x$ の式で表す。 (2) $f(\theta)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める。 (3) 方程式 $f(\theta) = a$ が相異なる4個の実数解を持つような実数 $a$ の値の範囲を求める。

解析学三角関数最大値最小値方程式2次関数
2025/4/21

1. 問題の内容

関数 f(θ)=2sin⁡2θ+4sin⁡θ+3cos⁡2θf(\theta) = 2\sin^2\theta + 4\sin\theta + 3\cos2\theta (0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi) について、以下の問いに答える。
(1) x=sin⁡θx = \sin\theta とするとき、f(θ)f(\theta) を xx の式で表す。
(2) f(θ)f(\theta) の最大値 MM と最小値 mm を求める。
(3) 方程式 f(θ)=af(\theta) = a が相異なる4個の実数解を持つような実数 aa の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta であることを利用する。
f(θ)=2sin⁡2θ+4sin⁡θ+3(1−2sin⁡2θ)=2sin⁡2θ+4sin⁡θ+3−6sin⁡2θ=−4sin⁡2θ+4sin⁡θ+3f(\theta) = 2\sin^2\theta + 4\sin\theta + 3(1 - 2\sin^2\theta) = 2\sin^2\theta + 4\sin\theta + 3 - 6\sin^2\theta = -4\sin^2\theta + 4\sin\theta + 3
x=sin⁡θx = \sin\theta を代入すると、
f(θ)=−4x2+4x+3f(\theta) = -4x^2 + 4x + 3
(2) f(θ)=−4x2+4x+3f(\theta) = -4x^2 + 4x + 3 を平方完成する。
f(θ)=−4(x2−x)+3=−4(x−12)2+4(14)+3=−4(x−12)2+1+3=−4(x−12)2+4f(\theta) = -4(x^2 - x) + 3 = -4(x - \frac{1}{2})^2 + 4(\frac{1}{4}) + 3 = -4(x - \frac{1}{2})^2 + 1 + 3 = -4(x - \frac{1}{2})^2 + 4
ここで、−1≤x=sin⁡θ≤1-1 \le x = \sin\theta \le 1 であるから、
x=12x = \frac{1}{2} のとき、最大値 M=4M = 4 を取る。
x=−1x = -1 のとき、最小値 m=−4(−1−12)2+4=−4(94)+4=−9+4=−5m = -4(-1 - \frac{1}{2})^2 + 4 = -4(\frac{9}{4}) + 4 = -9 + 4 = -5 を取る。
(3) f(θ)=af(\theta) = a が相異なる4個の実数解を持つ条件を考える。
x=sin⁡θx = \sin\theta であるから、−1≤x≤1-1 \le x \le 1 である。
f(θ)=−4x2+4x+3=af(\theta) = -4x^2 + 4x + 3 = a
−4(x−12)2+4=a-4(x - \frac{1}{2})^2 + 4 = a
−4(x−12)2=a−4-4(x - \frac{1}{2})^2 = a - 4
(x−12)2=4−a4(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{4 - a}{4}
x−12=±4−a4x - \frac{1}{2} = \pm\sqrt{\frac{4 - a}{4}}
x=12±4−a2x = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{4 - a}}{2}
x=1±4−a2x = \frac{1 \pm \sqrt{4 - a}}{2}
0<4−a4<940 < \frac{4 - a}{4} < \frac{9}{4}であれば、 −1<x<1-1 < x < 1 の範囲に二つの解を持つ。
一つのxxの値に対して、θ\thetaは0≤θ<2π0 \le \theta < 2\piの範囲で二つの解を持つ。したがって、二つのxxの値に対して、合計四つの解を持つためには、 −1<x<1-1 < x < 1の範囲で二つの解を持つ必要がある。
x=1−4−a2>−1x = \frac{1 - \sqrt{4 - a}}{2} > -1 より、1−4−a>−21 - \sqrt{4 - a} > -2 つまり 4−a<3\sqrt{4 - a} < 3。 よって、4−a<94 - a < 9 つまり a>−5a > -5。
x=1+4−a2<1x = \frac{1 + \sqrt{4 - a}}{2} < 1 より、1+4−a<21 + \sqrt{4 - a} < 2 つまり 4−a<1\sqrt{4 - a} < 1。 よって、4−a<14 - a < 1 つまり a>3a > 3。
また、a<4a < 4 である必要があるので、3<a<43 < a < 4 である。

3. 最終的な答え

(1) f(θ)=−4x2+4x+3f(\theta) = -4x^2 + 4x + 3
(2) 最大値 M=4M = 4, 最小値 m=−5m = -5
(3) 3<a<43 < a < 4

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