$\cos^{-1} x = \tan^{-1} (\sqrt{2})$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos^{-1} x = \tan^{-1} (\sqrt{2})$ を満たす $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^{-1} (\sqrt{2})$ を $\theta$ とおきます。

$$\theta = \tan^{-1} (\sqrt{2})$$

このとき、$\tan \theta = \sqrt{2}$ となります。

$$\tan \theta = \sqrt{2}$$

次に、$\cos \theta$ を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることから、

$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$。

したがって、$\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}$。

$\tan \theta = \sqrt{2}$ を代入すると、$(\sqrt{2})^2 = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}$。

$2 = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}$

$2 \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$3 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\theta = \tan^{-1} (\sqrt{2})$ なので、$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ となり、この範囲で $\cos \theta$ は正であるため、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。

$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

問題より、$\cos^{-1} x = \tan^{-1} (\sqrt{2}) = \theta$ であり、

$\cos (\cos^{-1} x) = \cos \theta$ なので、$x = \cos \theta$。

$$x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$