与えられた画像には、ガウス記号で表される関数の極限に関する例と定理が示されています。 例3では、実数 $x$ に対して $x$ を超えない最大の整数を対応させる関数 $y = [x]$ （ガウス記号）が定義されています。そして、任意の整数 $a$ に対して、以下の極限が成り立つと述べられています。 $\lim_{x \to a-0} [x] = a-1$ $\lim_{x \to a+0} [x] = a$ 定理8では、関数 $f(x)$ の $x=a$ における極限値が $A$ であることと、$x=a$ における右側極限と左側極限がともに $A$ であることが同値であることが述べられています。

## 回答

1. 問題の内容

与えられた画像には、ガウス記号で表される関数の極限に関する例と定理が示されています。

例3では、実数 $x$ に対して $x$ を超えない最大の整数を対応させる関数 $y = [x]$ （ガウス記号）が定義されています。そして、任意の整数 $a$ に対して、以下の極限が成り立つと述べられています。

$\lim_{x \to a-0} [x] = a-1$

$\lim_{x \to a+0} [x] = a$

定理8では、関数 $f(x)$ の $x=a$ における極限値が $A$ であることと、$x=a$ における右側極限と左側極限がともに $A$ であることが同値であることが述べられています。

2. 解き方の手順

ガウス記号に関する極限を理解することが重要です。

* $\lim_{x \to a-0} [x] = a-1$ は、$x$ が $a$ に左側から近づくとき、$x$ を超えない最大の整数は $a-1$ になることを意味します。例えば、$a=3$ なら、$x$ が $2.999$ のように 3 に左から近づくと、$[x] = 2 = 3-1$ となります。

* $\lim_{x \to a+0} [x] = a$ は、$x$ が $a$ に右側から近づくとき、$x$ を超えない最大の整数は $a$ になることを意味します。例えば、$a=3$ なら、$x$ が $3.001$ のように 3 に右から近づくと、$[x] = 3$ となります。

定理8は、極限の存在を定義するための基本的な定理です。関数がある点において極限を持つためには、その点における左右からの極限が一致する必要があります。

3. 最終的な答え

例3:

$\lim_{x \to a-0} [x] = a-1$

$\lim_{x \to a+0} [x] = a$

定理8:

関数 $f(x)$ の $x=a$ における極限値が $A$ であることと、$x=a$ における右側極限と左側極限がともに $A$ であることは同値である。