面積が毎秒 $4 \text{cm}^2$ の割合で増加している円があります。円の半径が $6 \text{cm}$ になったときの半径の増加速度を求める問題です。

1. 問題の内容

面積が毎秒 $4 \text{cm}^2$ の割合で増加している円があります。円の半径が $6 \text{cm}$ になったときの半径の増加速度を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の面積を $A$、半径を $r$ とすると、円の面積の公式は

$A = \pi r^2$

です。

面積が時間 $t$ に関して変化しているので、$A$ と $r$ は $t$ の関数と考えることができます。両辺を $t$ で微分すると、

$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} (\pi r^2)$

$\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt} (r^2)$

$\frac{dA}{dt} = \pi (2r) \frac{dr}{dt}$

$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$

となります。

問題文より、$\frac{dA}{dt} = 4 \text{cm}^2/\text{s}$ であり、$r = 6 \text{cm}$ のときの $\frac{dr}{dt}$ を求めたいので、上記の式にこれらの値を代入します。

$4 = 2 \pi (6) \frac{dr}{dt}$

$4 = 12 \pi \frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt} = \frac{4}{12 \pi} = \frac{1}{3 \pi}$

3. 最終的な答え

半径の増加速度は $\frac{1}{3 \pi} \text{cm/s}$ です。