面積が毎秒 $4 \text{ cm}^2$ の割合で増加している円がある。この円の半径が $8 \text{ cm}$ になったときの半径の増加速度を求める。

1. 問題の内容

面積が毎秒 $4 \text{ cm}^2$ の割合で増加している円がある。この円の半径が $8 \text{ cm}$ になったときの半径の増加速度を求める。

2. 解き方の手順

円の面積を $A$、半径を $r$ とすると、$A = \pi r^2$ である。

面積の増加速度 $\frac{dA}{dt}$ が与えられており、半径の増加速度 $\frac{dr}{dt}$ を求める。

$A = \pi r^2$ を時間 $t$ で微分すると、

$$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} (\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$$

問題文より、$\frac{dA}{dt} = 4 \text{ cm}^2/\text{s}$ であり、$r = 8 \text{ cm}$ のときの $\frac{dr}{dt}$ を求めたい。

上の式に値を代入すると、

$$4 = 2 \pi (8) \frac{dr}{dt}$$

$$\frac{dr}{dt} = \frac{4}{16 \pi} = \frac{1}{4 \pi}$$

3. 最終的な答え

半径の増加速度は $\frac{1}{4\pi} \text{ cm/s}$。