与えられた極限 $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ および $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$ を満たす関数 $f(x)$ について、$f(x) = (x+1)^2 (x-3) g(x)$ と表されるとき、$g(x)$ は整式である。$g(x)$ が定数関数ではない理由を説明する。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$

および

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$

を満たす関数 $f(x)$ について、$f(x) = (x+1)^2 (x-3) g(x)$ と表されるとき、$g(x)$ は整式である。$g(x)$ が定数関数ではない理由を説明する。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ という条件から、$x=-1$ の近くで、$f(x)$ は $(x+1)^2$ に比例することがわかります。具体的には、

$f(x) \approx -1(x+1)^2$ となります。

もし$g(x)$が定数関数であると仮定すると、$g(x) = c$ ($c$は定数)とおける。

すると、$f(x) = c (x+1)^2 (x-3)$ となる。

次に、$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$ という条件から、$x=3$ の近くで、$f(x)$ は $(x-3)$ に比例することがわかります。具体的には、$f(x) \approx 3(x-3)$ となります。

$f(x) = c (x+1)^2 (x-3)$ を代入すると、

$\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{c(x+1)^2 (x-3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} c(x+1)^2 = c (3+1)^2 = 16c$

となります。

したがって、$16c = 3$ より、$c = \frac{3}{16}$ となります。

ここで、もし$f(x) = \frac{3}{16}(x+1)^2(x-3)$ であるとすると、

$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to -1} \frac{\frac{3}{16}(x+1)^2(x-3)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to -1} \frac{3}{16} (x-3) = \frac{3}{16} (-1-3) = \frac{3}{16} (-4) = -\frac{3}{4}$

となり、$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ という条件を満たさない。

したがって、$g(x)$は定数関数ではない。なぜなら、仮に定数関数だとすると、与えられた極限の条件を両方満たすことができないからである。

3. 最終的な答え

$g(x)$ が定数関数だと仮定すると、$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)^2} = -1$ および $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 3$ の両方の条件を満たすことができないため。