円の面積が毎秒4cm²の割合で増加しているとき、半径が8cmになった時点での半径の増加速度を求める問題です。

1. 問題の内容

円の面積が毎秒4cm²の割合で増加しているとき、半径が8cmになった時点での半径の増加速度を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円の面積$A$と半径$r$の関係式を書きます。

$A = \pi r^2$

次に、この式を時間$t$で微分します（連鎖律を使用します）。

$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$

問題文より、$\frac{dA}{dt} = 4$ cm²/s であり、$r = 8$ cm のときの $\frac{dr}{dt}$ を求めます。これらの値を上の式に代入します。

$4 = 2\pi (8) \frac{dr}{dt}$

$\frac{dr}{dt}$ について解きます。

$\frac{dr}{dt} = \frac{4}{16\pi} = \frac{1}{4\pi}$

3. 最終的な答え

半径の増加速度は $\frac{1}{4\pi}$ cm/s です。