$x \ge 0$ のとき、関数 $f(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 34}{x^2 - x + 3}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x \ge 0$ のとき、関数 $f(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 34}{x^2 - x + 3}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分子を分母で割ることを考えます。

$$$$

\begin{array}{c|ccccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & -x & +1 \\

\cline{2-6}

x^2-x+3 & x^4 & -2x^3 & -x^2 & +2x & +34 \\

\multicolumn{2}{r}{x^4} & -x^3 & +3x^2 \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & -x^3 & -4x^2 & +2x \\

\multicolumn{2}{r}{} & -x^3 & +x^2 & -3x \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -5x^2 & +5x & +34 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -5x^2 & +5x & -15 \\

\cline{4-6}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 & +49 \\

\end{array}

$$$$

したがって、

$x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 34 = (x^2 - x + 3)(x^2 - x - 5) + 49$

$f(x) = \frac{(x^2 - x + 3)(x^2 - x - 5) + 49}{x^2 - x + 3} = x^2 - x - 5 + \frac{49}{x^2 - x + 3}$

$t = x^2 - x + 3$ とおくと、$f(x) = t - 8 + \frac{49}{t}$.

$g(t) = t + \frac{49}{t}$ とすると $f(x) = g(t) - 8$.

$t = x^2 - x + 3 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4} \ge \frac{11}{4}$

$x \ge 0$ の範囲で、$t$ は $x = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{11}{4}$ をとります。

$g(t) = t + \frac{49}{t}$ について、相加相乗平均の関係より

$t + \frac{49}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{49}{t}} = 2\sqrt{49} = 14$

等号成立は $t = \frac{49}{t}$ のとき、つまり $t^2 = 49$ より $t = 7$ ($t>0$ より)。

$t=7$ を満たす $x$ が $x \ge 0$ に存在するか調べる。

$x^2 - x + 3 = 7$

$x^2 - x - 4 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} > 0$

したがって、$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ のとき、$t = 7$ となり、 $f(x)$ は最小値 $14 - 8 = 6$ をとる。

3. 最終的な答え

最小値は 6 ($x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ のとき)