$x>0$における関数$f(x) = \left(2x + \frac{27}{x+1} + 2\right)\left(x + \frac{6}{x+1} + 1\right)$の最小値と、最小値を与える$x$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x>0$における関数$f(x) = \left(2x + \frac{27}{x+1} + 2\right)\left(x + \frac{6}{x+1} + 1\right)$の最小値と、最小値を与える$x$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を展開します。

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\begin{aligned}

f(x) &= \left(2x + \frac{27}{x+1} + 2\right)\left(x + \frac{6}{x+1} + 1\right) \\

&= 2x^2 + \frac{12x}{x+1} + 2x + \frac{27x}{x+1} + \frac{162}{(x+1)^2} + \frac{27}{x+1} + 2x + \frac{12}{x+1} + 2 \\

&= 2x^2 + 4x + \frac{39x}{x+1} + \frac{39}{x+1} + \frac{162}{(x+1)^2} + 2 \\

&= 2x^2 + 4x + 39\left(\frac{x+1}{x+1}\right) + \frac{162}{(x+1)^2} + 2 \\

&= 2x^2 + 4x + 39 + \frac{162}{(x+1)^2} + 2 \\

&= 2x^2 + 4x + 41 + \frac{162}{(x+1)^2}

\end{aligned}

$$$$

次に、$f(x)$を微分して、極値を求めます。

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\begin{aligned}

f'(x) &= 4x + 4 - \frac{324}{(x+1)^3}

\end{aligned}

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$f'(x) = 0$となる$x$を求めます。

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\begin{aligned}

4x + 4 - \frac{324}{(x+1)^3} &= 0 \\

4(x+1) &= \frac{324}{(x+1)^3} \\

(x+1)^4 &= \frac{324}{4} \\

(x+1)^4 &= 81 \\

x+1 &= \pm 3

\end{aligned}

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$x > 0$より、$x+1 = 3$なので、$x = 2$となります。

$x=2$のとき、

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f(2) = \left(2(2) + \frac{27}{2+1} + 2\right)\left(2 + \frac{6}{2+1} + 1\right) = \left(4+9+2\right)\left(2+2+1\right) = 15 \cdot 5 = 75

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$x=2$の周辺で、$f'(x)$の符号を調べます。

$x$が2より小さいとき（例えば$x=1$）、

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f'(1) = 4(1) + 4 - \frac{324}{(1+1)^3} = 8 - \frac{324}{8} = 8 - 40.5 = -32.5 < 0

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$x$が2より大きいとき（例えば$x=3$）、

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f'(3) = 4(3) + 4 - \frac{324}{(3+1)^3} = 16 - \frac{324}{64} = 16 - 5.0625 = 10.9375 > 0

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したがって、$x=2$で極小値かつ最小値をとります。

3. 最終的な答え

最小値は75で、$x=2$のとき最小値を取ります。